整数 n ,如果存在整数 x,y,z 满足 n=x3+y3+z3−3xyz ,则称 n 具有性质 P,在 1,5,2013,2024 中,那些数具有性质 P,那些数不具有性质 P?请说明理由。
题外话
问题并非我所解决,是由同学解决的。
下面的话语是我的胡言乱语,并不能当作可以获得满分的正确解答。
被同学嘲讽了。不过貌似确实很简单的样子。
在此膜拜一下。顺手写一篇解。
解:
原式
=(x+y+z)(x2+y2+z2−xy−zx−zy)
=(x+y+z)[(x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz)−3xy−3xz−3yz]
=(x+y+z)[(x+y+z)2−3(xy−xz−yz)]
令 a=x+y+z,b=xy−xz−yz.
则 a,b 均为整数。
原式 =a(a2−3b)
∵
\therefore a,(a^2+3b) 必有一是 3 的倍数。
分类讨论如下:
\color{white}{ }
1 ^{\circ} 3|a, 则 3|a^2.
\therefore 3|a^2-3b
而 3 \nmid (a^2-3b). 并不存在满足条件的 a,b.
\color{white}{ }
2 ^{\circ} 3|a^2, 则 3|a^2-3b, 3|a.
而 3 \nmid a. 并不存在满足条件的 a,b.
\color{white}{ }
综上所述,没有满足条件的 a,b,c ,故 2013 不具有性质 P。
1 在 x=1,y=0,z=0 时可以使原式成立,故满足性质 P.
5 在 x=1,y=2,z=2 时可以使原式成立,故满足性质 P.
2024 在 x=674,y=675,z=675 时可以使原式成立,故满足性质 P.
另外三数
也许你很想知道另外三个数我是如何得出来的。因为一次一次像证明无解一样做太过冗长。提供一种快速的凑数方法。
先给一张表吧。
1 1 1 -> 0 1 1 2 -> 4 1 2 2 -> 5 2 2 2 -> 0 2 2 3 -> 7 2 3 3 -> 8 3 3 3 -> 0 3 3 4 -> 10 3 4 4 -> 11 4 4 4 -> 0 4 4 5 -> 13 4 5 5 -> 14 5 5 5 -> 0 5 5 6 -> 16 5 6 6 -> 17 6 6 6 -> 0
左边三个数是 x,y,z ,右边是代入原式之后的值。
可以看见,x=y=z 时原式 =0.
但是如果有一个数增加 1 会变成如下形式:
(x+1)^3 + x^3 + x^3 - 3(x+1)x^2 = 3x+1
两个数增加 1 会变成如下形式:
(x+1)^3 + (x+1)^3 + x^3 - 3(x+1)^2x = 3x+2
由于另外三个数都不是 3 的倍数,所以代入这两个式子进去马上就可以求出答案。甩出来就是满足条件的 x,x+1.
当然,如果你偏爱真相的话还是可以用正解作答的。在这里只不过是提供一种用谎言骗取考试时间的方法罢了。总之。
\texttt{solved}
补充说明
警告: 下面含有大量胡言乱语。但是我相信你一定会看得懂的。
应邱老追问。补充一段分类讨论之中的证明。
在 a 是整数,a^2 的每一个质因子出现个数都是 a 中出现的两倍。这个是幂的运算部分。不多阐述。而 a^2 由于 a 是整数,所以每一个质因子都至少出现了两次。那么在 a=\sqrt{a^2} 中每一个质因子出现次数都会减去一半,但是最后还是多于一次。
这样的话 a 出现的因子和 a^2 是一样的。
所以说 3|a \iff 3|a^2 而 3b 由于 b 是整数也一定会含有一个因子 3 两个数相加后一定也会有一个因子 3 。这是乘法分配律。
如果你需要详细的解释那么我想应该是下面这样的:
设 a=3k,则 a+3b=3k+3b=3(k+b) 而 k,b 同样是整数所以加和同样也是整数。乘上 3 之后当然就会有一个因子是 3 。
你可能还很想知道为什么在 2013 的不具性质 P 的证明中, a,(a^2+3b) 为什么必定会有一个含有因子 3 吧?
那么我来告诉你。如果两个数都不含有因子 3 的话,那么随之它们的乘积 2013 也不应该会含有因子 3. 和 2010 一样,这些 3 的倍数无论拆分成哪两个因子想成最终都仍然会有一个含有因子 3.
这个可以通过代数基本定理证明吧。但是我累了不想写了。如果不能证明的话那就说明我又开始胡思乱想了。虽然这句话本身就是胡言乱语的一部分。