猜测答案为关于 $p_1\sim p_n,L,1$ 的线性组合，考虑求系数。
概率 DP，将 $p$ 视作未知数，$ans_n$ 为关于 $p$ 的线性和式。
$$ pr=\frac{1}{2n} \\ ans_n(p[1,n])=pr(ans_{n-1}(p[2,n])+p_1+ans_{n-1}(p[1,n-1])+L+1-p_n) \\+\sum_{i=1}^{n-1} pr(ans_{n}(p[1,i-1],p_{i+1}-1,p[i+1,n])+p_{i+1}-p_i-1) \\+\sum_{i=2}^{n} pr(ans_{n}(p[1,i-1],p_{i-1}+1,p[i+1,n])+p_{i}-p_{i-1}-1) $$
等式满足需要每个 $p_i$ 前系数相等，直接消元，常数项和 $L$ 项可以直接得出，问题是右边 $x_i$ 可能乘上 $p_{i-1}$，因此会得到关于 $x$ 的方程组，每个方程组和相邻两项的 $x$ 有关，可以将 $x_1$ 作为主元，然后链式消元。
常数项和 $L$ 项可以单独递推，按 $1\sim n$ 顺序预处理系数，每层链式消元，$O(n^2+Tn)$。