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Time Limit: 2 s Memory Limit: 512 MB Total points: 100 Interactive
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# 3273. Datalab

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这是一道交互题。

在 AutoLab 平台上有一台奇怪的 k 位计算机,其中 k 是一个固定的常数 8192=213。这台计算机的字长恰好为 k8=1024=210,且其存储整数的方式如下:

每个整数会存储在连续的 k 个 bit 中。假设将这 k 个连续 bit 的值按照下标从小到大顺次排列后得到的长度为 k 的 01 字符串为 S 。假设 S 的下标从 0 开始,则这个字符串 S 对应的整数值为 f(S)=k1i=0[Si==1]sgni2i, 其中 sgn 是一个小 W 预先定义的长度为 k 的数组,其下标从 0 开始且 0i<k,sgni{1,1}。出于某些特殊的原因,这台计算机上保证了 sgnk1=1sgnk2=1。而你不知道 sgn0,sgn1,,sgnk3 的值。

假设 L=k1i=0minR = \sum \limits_{i=0}^{k-1} \max\{0,sgn_i\} 2^i, 则发现 \forall L \le x \le R,恰好有一个长度为 k 的 01 字符串 f(T), 使得 f(T) = x(证明略去)。不妨设所有 [L,R] 内的整数构成的集合为 S,则 f 是一个从 \{0,1\}^nS 的双射。据此我们可以设 f(x) 的反函数 g(x) 存在,且其满足 \forall x \in S,f(g(x)) = x

假设存在 x,y \in S ,则在该计算机上两个整数之间的加法 \oplus 被定义为 x \oplus y \overset{def}{=} (x + y - L + 2^k) \bmod 2^k + L。不难发现 \forall x,y \in S,x \oplus y \in S。因而在这台计算机上加法满足封闭性。同时按照如上规则定义的加法也满足交换律,结合律等性质。这些性质的证明也同样略去。

学生可以通过有限次的询问获得和 sgn_i 相关的信息。每次询问你可以给计算机两个长度为 k 的仅包含 0,1 的字符串 x,y,而计算机会返回 g(f(x) \oplus f(y)) 的值。本次的作业要求是在不超过 m 次的询问中求出sgn_0,sgn_1,\cdots,sgn_{k-3} 的准确值。

小 Z 是一名聪明绝顶的学生,因而他尝试使用他的 10^3 \mathrm{Hz} 的超强大脑来手算出每次交互的值。但是他发现给他的处理速度还是跟不上庞大的数据规模。因而它请你帮忙写一个程序,帮助他更快速的完成本次的作业。

任务

本题仅支持 C++。

你需要包含头文件 datalab.h

你不需要,也不应该实现主函数,你只需要实现如下一个函数:

  1. std::vector<int> solve(int k,int m)
    • 传入数字的是计算机的字长 k 和询问次数限制 \mathrm{m}
    • 你需要返回一个大小为 kvector,其第 i 个元素代表你确定的 sgn_i 的值。

你可以通过如下函数调用 Autolab 上的加法操作。

  1. std::bitset<8192> Add(std::bitset<8192> x,std::bitset<8192> y)
    • 给定两个大小为 k 的 bitset, 每个 bitset 自低位向高位阅读的结果代表了一个长度为 k 的仅包含 01 的字符串。
    • 返回一个大小为 k 的 bitset, 表示 g(f(x) \oplus f(y)) 的值。返回的格式和输入的格式相同。

根据题目要求,你至多只能询问 \mathrm{m} 次两个整数在这台计算机上的加法结果。也就是说你至多只能调用 \mathrm{m}Add 函数。

评测时,交互库会恰好调用 solve 一次。

本题保证所使用的数组 sgn 在开始之前已经完全确定,不会根据和你的程序的交互过程动态构造,因此题目中的交互操作都是确定性的,你不需要关心这些操作在交互库中的具体实现。

数据保证在调用次数限制下,交互库运行所需的时间不超过 1s;交互库使用的内存大小固定,且不超过 128MB。

如何测试你的程序

试题目录下的 grader.cpp 是我们提供的交互库参考实现,最终测试时所用的交互库实现与该参考实现有所不同,因此选手的解法不应该依赖交互库实现。

  1. 你需要在本题目录下使用如下命令编译得到可执行程序:
    • g++ grader.cpp sample.cpp -o sample -O2 -lm
  2. 对于编译得到的可执行程序:
    • 可执行文件将从标准输入读入以下格式的数据:
      • 第一行包含两个整数 k,\mathrm{m}
      • 接下来一行 k 个整数,第 i 个数字表示 sgn_i
    • 读入完成之后,交互库将调用恰好一次函数 \texttt{solve} 你的函数正确返回后,交互库会判断你的计算是否正确,若正确则会输出 Correct 和交互函数调用次数相关信息,否则会输出相应的错误信息。

试题目录下有出题人提供的一份参考代码 sample.cpp,注意这份代码 不保证可以通过所有的测试用例

样例数据

样例 1

见下发文件。

样例 2

见下发文件。

这两个样例满足可执行程序的输入格式,因而可以直接输入到可执行程序中。

数据范围

子任务 k m
1 = 8192 = 2^{13} = 8200
2 = 5550
3 = 4096 = 2^{12}

评分方式

对于任意一个子任务中的数据,如果在某一个数据上选手返回了错误的答案,或者是超出了询问次数限制,得分为 0

否则假设在子任务内所有测试点中,询问次数的最大值为 a,则对于每个子任务,选手得分为:

  • Subtask 1: 10
  • Subtask 2: 15
  • Subtask 3: \min \{75, \frac{13800}{\max\{a,1\}} \}

换而言之,当且仅当 a \le 184 的时候,Subtask 3 可以获得满分。

选手在本题为本题三个子任务的得分之和。