考虑平面上从 $(0, 0)$ 到 $(n, n)$ 的路径，由向右（“R”）和向上（“U”）的单位步长组成。已知此类不同路径的数量为二项式系数：
$$\text{choose}(2n, n) = \frac{(2n)!}{n! \cdot n!}$$
例如，当 $n = 2$ 时，有六条这样的路径：“RRUU”、“RURU”、“RUUR”、“URRU”、“URUR”、“UURR”。
字符串 $U$ 是一个合法括号序列，如果它是空串，或者形式为“$(V)$”，或者是两个形式为“$VW$”的字符串的拼接，其中 $V$ 和 $W$ 是合法括号序列。考虑包含 $n$ 对括号的合法括号序列。已知此类不同序列的数量为卡特兰数，特别地，可以计算如下：
$$C_n = \frac{1}{n + 1} \cdot \text{choose}(2n, n)$$
例如，当 $n = 2$ 时，有两个这样的序列：“(())”、“()()”。
请构造一个反映这一事实的双射。更具体地说，给定一条包含 $n$ 步向右和 $n$ 步向上的路径，构造一个包含 $n$ 对括号的合法括号序列，并额外记录一个 $0$ 到 $n$（含）之间的整数 $k$。之后，给定该序列和整数 $k$，还原出原始路径。
交互
在本题中，你的程序在每个测试点上将被运行两次。
在第一次运行中，程序需要对路径进行编码。第一行包含单词“path”。第二行包含一个整数 $n$：路径长度的一半（$1 \le n \le 300$）。第三行包含一条 $2n$ 步的路径：由 $n$ 个字母“R”和 $n$ 个字母“U”以某种顺序组成。
在第一行，输出任意一个包含 $n$ 个“(”字符和 $n$ 个“)”字符的合法括号序列。在第二行，输出任意一个整数 $k$（$0 \le k \le n$）。
在第二次运行中，程序需要还原路径。第一行包含单词“brackets”。第二行包含一个整数 $n$，与第一次运行相同：括号序列长度的一半（$1 \le n \le 300$）。第三行包含一个包含 $n$ 个“(”字符和 $n$ 个“)”字符的合法括号序列。第四行包含一个整数 $k$（$0 \le k \le n$）。该序列和整数即为第一次运行中输出的内容。
在第一行，输出还原后的初始路径：$n$ 个字母“R”和 $n$ 个字母“U”，顺序与第一次运行输入中的路径相同。
在每次运行中，每一行输入（包括最后一行）均以换行符结尾。
样例
在每个测试点上，第二次运行的输入取决于第一次运行中程序的输出。
以下展示了某程序在第一个测试点上的两次运行：
| 标准输入 | 标准输出 |
|---|---|
| path 2 RRUU |
(()) 0 |
| brackets 2 (()) 0 |
RRUU |
以下展示了某程序在第二个测试点上的两次运行：
| 标准输入 | 标准输出 |
|---|---|
| path 3 RUURRU |
(())() 3 |
| brackets 3 (())() 3 |
RUURRU |